數(shù)學(xué)分析專題：基于傅立葉變換的調(diào)和分析研究及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用【大學(xué)組】

專業(yè)：自然科學(xué)

項(xiàng)目類型：國(guó)外小組科研

開始時(shí)間：2025年01月18日

是否可加論文：是

項(xiàng)目周期：7周在線小組科研學(xué)習(xí)+5周不限時(shí)論文指導(dǎo)學(xué)習(xí)

語(yǔ)言：英文

有無剩余名額：名額充足

建議學(xué)生年級(jí)：大學(xué)生

是否必需面試：否

適合專業(yè)：密碼學(xué)通信工程信息工程工程學(xué)數(shù)學(xué)物理生物醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)

地點(diǎn)：無

建議選修：高等數(shù)學(xué)綜合：微積分、線性代數(shù)與概率論

建議具備的基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)分析、應(yīng)用數(shù)學(xué)、純數(shù)學(xué)、物理、工程等相關(guān)專業(yè)學(xué)生； 學(xué)生需要具備大學(xué)微積分基礎(chǔ)

產(chǎn)出：7周在線小組科研學(xué)習(xí)+5周不限時(shí)論文指導(dǎo)學(xué)習(xí) 共125課時(shí) 項(xiàng)目報(bào)告 優(yōu)秀學(xué)員獲主導(dǎo)師Reference Letter EI/CPCI/Scopus/ProQuest/Crossref/EBSCO或同等級(jí)別索引國(guó)際會(huì)議全文投遞與發(fā)表指導(dǎo)（可用于申請(qǐng)） 結(jié)業(yè)證書 成績(jī)單

項(xiàng)目背景：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間、信息等概念的一門形式科學(xué)”。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)是萬(wàn)物之本源；諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主倫琴則將數(shù)學(xué)視為科學(xué)家的必備素養(yǎng)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)逐漸跳脫出自然科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域，在金融、人口、環(huán)境、交通、哲學(xué)等多個(gè)社會(huì)層級(jí)和學(xué)科層面發(fā)揮著愈發(fā)突出的作用。傅里葉分析Fourier analysis 分析學(xué)中18世紀(jì)逐漸形成的一個(gè)重要分支，主要研究函數(shù)的傅里葉變換及其性質(zhì)。又稱調(diào)和分析。在經(jīng)歷了近2個(gè)世紀(jì)的發(fā)展之后，研究領(lǐng)域已從直線群、圓周群擴(kuò)展到一般的抽象群。關(guān)于后者的研究又成為群上的傅里葉分析。傅里葉分析作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展。數(shù)學(xué)中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發(fā)展過程密切相關(guān)。項(xiàng)目聚焦傅里葉分析這一經(jīng)典數(shù)學(xué)分析課題。

項(xiàng)目介紹：傅里葉分析（Fourier analysis）是分析學(xué)中逐漸形成的一個(gè)重要分支，它研究并擴(kuò)展傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的概念，又稱調(diào)和分析。在過去兩個(gè)世紀(jì)中，它已成為一個(gè)廣泛的主題，并在諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如信號(hào)處理、量子力學(xué)、神經(jīng)科學(xué)等。隨著分析學(xué)研究的深入，傅里葉分析的延究領(lǐng)域已從直線群、圓周群擴(kuò)展到一般的抽象群。關(guān)于后者的研究又成為群上的傅里葉分析。傅里葉分析作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展。數(shù)學(xué)中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發(fā)展過程密切相關(guān)。
Fourier analysis starts with an effort to solve the heat equation in mathematical physics. It has grown to be a widely tool in both pure and applied mathematics. The entire area of 'Harmonic analysis' has its origins in the study of the Fourier transform. It has become the basic tool in signal processing.

項(xiàng)目大綱：離散傅里葉變換 The N roots of unity: the Discrete Fourier Transform (DFT) 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分 The circle and the integers: Fourier series and the real line: Fourier integrals 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂與三種過濾器 Convergence of Fourier series and three different filters: Dirichlet, Fejer, Poisson. 海森堡不等式 The Heisenberg inequality 均方收斂 The theorem of Riesz and Fisher, mean square convergence 高維情況 The Radon transform and the wave equation in dimensions one and three 傅里葉變換在量子力學(xué)中的應(yīng)用 Integral operators commuting with differential ones: the Fourier transform and the harmonic oscillator in quantum mechanics 傅里葉變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用 Time-and-band limiting and the prolate spheroidal differential operator 項(xiàng)目回顧與成果展示 Program review and final presentation 項(xiàng)目論文指導(dǎo) Final deliverables tutoring