數(shù)學前沿課題探究：構(gòu)造性拓撲學分析

數(shù)學

課題背景

拓撲學(topology)，是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學里，重要的拓撲性質(zhì)包括連通性與緊致性。你可以用任何你想要的方式拉伸、擠壓和彎曲你的物體，但你不允許把它分開或把不同的部分粘在一起。例如，從拓撲學的觀點來看，地球表面是一個球體，因為它可以變形成一個完美的圓形球體。事實上，地球表面不是圓的，所以從幾何學的觀點來看，它不是一個球體。同樣地，從拓撲學的觀點來看，一個咖啡杯和一個甜甜圈是一樣的，因為你可以把一個變成另一個。

構(gòu)造邏輯和更一般的構(gòu)造數(shù)學處理對象，例如數(shù)字，它可以作為某些有限計算機算法的輸出而生成。任何計算機算法都可以用它的二進制代碼來表示，所以用這種方法可以得到的所有可能的數(shù)的集合都可以用正整數(shù)來枚舉。根據(jù)定義，這意味著所有算法的集合，因此所有的構(gòu)造數(shù)都是可計數(shù)的。所有有理數(shù)的集合也是可數(shù)的但令人驚訝的是所有無理數(shù)的集合是不可數(shù)的。

課題內(nèi)容

在這門課中，我們將著重于理解陳述并使用構(gòu)造數(shù)學中的一些重要結(jié)果。 我們還將涵蓋“分析”和“拓撲”集的一些基本概念和定理。參與本課程的學生將分成幾個小組，研究項目，以探討在構(gòu)造性世界中，分析和拓撲學中的一些基本定理的陳述在多大程度上得到了延續(xù)。

適合人群

對數(shù)學拓撲，幾何圖形感興趣的高中生，本科生 

修讀數(shù)學專業(yè)，以及未來希望在應用數(shù)學，計算機科學，物理學，生物等領(lǐng)域從業(yè)的學生 

具備微積分II, 或與此相當課程的學生優(yōu)先 

建議提前掌握一元函數(shù)積分，微分基礎(chǔ)，基本計算機算法，二進制代碼等專業(yè)知識

教授介紹

達特茅斯學院數(shù)學系終身教授

達特茅斯學院塞耶獎數(shù)學競賽委員會主席

達特茅斯學院研究生招生委員會委員

微積分之外的數(shù)學概論”課程發(fā)展委員會成員

達特茅斯大學本科生數(shù)學學會”教師顧問

曾獲達特茅斯學院秋季高級教師獎

曾獲西蒙斯基金會頒發(fā) “數(shù)學家合作獎”

課程安排與收獲

10周在線小組科研（總計72課時）

網(wǎng)申推薦信

學術(shù)評估報告

項目成績單

論文成果

* 課時包含：導師課程36課時+助教課程30課時+寫作課程6課時，不包含先修課課時
* 完成研究后滿足學術(shù)條件和教授要求可獲得推薦信，教授將嚴格按照學生實際表現(xiàn)對學生進行客觀評價。